三分损益法是中国古代音乐理论中用于确定音律的一种数学方法，主要用于生成十二律（十二平均律的基础）和其他音阶音高，是中国传统音乐调律的核心技术之一。其基本原理是通过弦长或管长的三分损益（即增加或减少三分之一）来推算音阶中的音高关系。这种方法最早见于《管子》《吕氏春秋》等文献，战国时期已有系统论述，后在《乐书》《汉书·律历志》等文献中进一步完善。

基本原理

三分损益法的核心是通过对乐器（如琴或律管）的长度进行数学运算，生成不同音高。具体方法是：

  • 三分损一：将弦长或管长分为三等份，去掉一份（即乘以 2/3），得到一个比原音高五度的音（纯五度）。
  • 三分益一：将弦长或管长分为三等份，增加一份（即乘以 4/3），得到一个比原音低五度的音（纯四度）。
  • 通过反复应用“损一”和“益一”，生成一系列音高，形成音阶。

推算过程

以黄钟（基础音，相当于现代的 C4）为起点，假设其律管长度为 81 单位（古代常用 81 作为基数，便于计算）。

律名长度频率对应现代音名
黄钟811C
林钟81 × 2⁄3 = 5481⁄54 = 1.5G
太簇54 × 4⁄3 = 7281⁄72 = 1.125D
南吕72 × 2⁄3 = 4881⁄48 = 1.6875A
姑洗48 × 4⁄3 = 6481⁄64 = 1.265625E
应钟64 × 2⁄3 = 128⁄3 = 42.666781/(128⁄3) = 1.8984375B
蕤宾128⁄3 × 4⁄3 = 512⁄9 = 56.888981/(512⁄9) = 729⁄512 = 1.423828125F#
大吕512⁄9 × 2⁄3 = 1024⁄27 = 37.925981/(1024⁄27) = 2187⁄1024 = 2.1357421875C#
夷则1024⁄27 × 4⁄3 = 4096⁄81 = 50.567981/(4096⁄81) = 6561⁄4096 = 1.601806640625G#
夹钟4096⁄81 × 2⁄3 = 8192⁄243 = 33.711981/(8192⁄243) = 19683⁄8192 = 2.40380859375D#
无射8192⁄243 × 4⁄3 = 32768⁄729 = 44.948581/(32768⁄729) = 59049⁄32768 = 1.802032470703125A#
仲吕32768⁄729 × 2⁄3 = 65536⁄2187 = 29.965781/(65536⁄2187) = 177147⁄65536 = 2.703094482421875F
返回黄钟65536⁄2187 × 4⁄3 = 262144⁄6561 = 39.957481/(262144⁄6561) = 531441⁄262144 = 2.027286529541015625C

与十二平均律对比

十二平均律将一个八度（频率比 2:1）均分为 12 个半音，每个半音的频率比为 21⁄12 = 1.059463094359295 。

音名三分损益法频率十二平均律频率偏差（音分，1半音=100 音分）
C（黄钟）1.01.00
C#（大吕）1.067871093751.059463094359295+13.69
D（太簇）1.1251.122462048309373+2.27
D#（夹钟）1.2019042968751.189207115002721+10.65
E（姑洗）1.2656251.259921049894873+4.54
F（仲吕）1.35154724121093751.334839854170034+12.49
F#（蕤宾）1.4238281251.414213562373095+6.80
G（林钟）1.51.498307076876682+1.13
G#（夷则）1.6018066406251.587401051968199+9.07
A（南吕）1.68751.681792830507429+3.40
A#（无射）1.8020324707031251.781797436280678+11.37
B（应钟）1.89843751.887748625363387+5.66

偏差计算：音分（cents）公式为 1200 × log_2(三分损益频率 / 平均律频率) 。例如，C#的偏差 = 1200 × log_2(1.06787109375 / 1.059463094359295) = 13.69 音分。

编程可视化

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# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib import font_manager
import warnings

# 动态检查可用字体
available_fonts = [f.name for f in font_manager.fontManager.ttflist]
preferred_fonts = ['Noto Sans CJK SC', 'SimSun', 'Microsoft YaHei', 'PingFang SC', 'WenQuanYi Zen Hei', 'Arial Unicode MS']

# 查找第一个可用的中文字体
selected_font = None
for font in preferred_fonts:
    if font in available_fonts:
        selected_font = font
        break

if selected_font:
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = [selected_font] + ['sans-serif']
else:
    warnings.warn("No Chinese fonts found. Chinese characters may display as boxes. Please install 'Noto Sans CJK SC' or another Chinese font.")
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['sans-serif']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# 三分损益法计算律管长度
def triple_division_length(start_length=81, num_notes=12):
    lengths = [start_length]
    names = ["黄钟"]
    for i in range(num_notes):
        if i % 2 == 0:  # 三分损一：长度 * 2/3
            new_length = lengths[-1] * 2 / 3
        else:  # 三分益一：长度 * 4/3
            new_length = lengths[-1] * 4 / 3
        # 调整到同一八度（长度在81/2到81之间）
        while new_length > start_length:
            new_length /= 2
        while new_length < start_length / 2:
            new_length *= 2
        lengths.append(new_length)
        # 添加音名（按五度相生顺序）
        names.append({
            0: "林钟", 1: "太簇", 2: "南吕", 3: "姑洗", 4: "应钟",
            5: "蕤宾", 6: "大吕", 7: "夷则", 8: "夹钟", 9: "无射",
            10: "仲吕"
        }.get(i, "黄钟(循环)"))
    return lengths, names

# 计算十二律的律管长度
lengths, names = triple_division_length()

# 绘制柱状图并标记数值
plt.figure(figsize=(12, 6))
bars = plt.bar(names, lengths, color='skyblue', edgecolor='black')
plt.title('三分损益法生成的十二律律管长度', fontsize=14)
plt.xlabel('音名', fontsize=12)
plt.ylabel('律管长度 (单位)', fontsize=12)
plt.xticks(rotation=45)
plt.grid(True, axis='y', linestyle='--', alpha=0.7)

# 在柱子上方添加长度数值标签
for i, bar in enumerate(bars):
    height = bar.get_height()
    plt.text(bar.get_x() + bar.get_width() / 2, height, f'{height:.4f}',
             ha='center', va='bottom', fontsize=10)

plt.tight_layout()

# 保存图表
plt.savefig('triple_division.png')
plt.show()